Combinación Lineal en Álgebra Lineal

En el video anterior, te explique las bases fundamentales de los vectores así como realizar sumas de vectores y la multiplicación escalar.

Ahora veamos otra forma de pensar en las coordenadas, que es bastante fundamental en el álgebra lineal.

Cuando tienes un par de números para escribir un vector, por ejemplo, tienes un par de números para describir un vector, como 4 y -2. Quiero que pienses en cada coordenada como un escalar. Es decir, piensa en cómo cada uno alarga o reduce vectores.

En el sistemas de coordenadas, hay dos vectores muy especiales, uno que apunta a la derecha con la longitud de 1, comúnmente llamado “i” o el vector unitario en la dirección “X”; y otro que apunta hacia arriba con longitud de 1, comúnmente llamado “j” o el vector unitario en la dirección “Y”.

Ahora piensa en las coordenadas escalares de nuestro vector. La coordenada “X” de nuestro vector será un escalar que escala “i”, acá se estira por un factor de 4. Por su parte la coordenada de “Y” será un escalar que escala “j”, dándole la vuelta y estirándolo por un factor de 2.

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En este sentido, el vector que estas coordenadas describe es la suma de dos vectores en escala. Este es un concepto sorprenderte importante, esta idea de sumar dos vectores a escala.

Los dos vectores, “i” y “j”, tienen un nombre especial. Se le conoce como vectores bases del sistema de coordenadas “xy”. Lo que esto significa básicamente es que cuando piensas en las coordenadas como escalares, los vectores base son lo que esos escalares realmente escalan.

Enmarcado en nuestro sistema de coordenadas en términos de estos dos vectores de base especiales, surge un nuevo punto interesante y es el de si es posble tener diferentes vectores bases.

Podríamos haber elegido diferentes vectores base y obtener un nuevo sistema de coordenadas completamente razonable.

Por ejemplo, si tomamos algunos vectores apuntando hacia arriba y para la derecha junto con otro vector apuntando hacia abajo y hacia la derecha. Piensa en todos los diferentes vectores que puedes conseguir eligiendo dos escalares, usando cada uno para escalar uno de los vectores, y luego sumando lo que obtienes.

¿Cuántos vectores bidimensionales se pueden alcanzar alterando las opciones de los escalares?

La respuesta es que podemos alcanzar cualquier vector dimensional posible. Pero veamos el por qué de esto.

Un nuevo par de vectores de bases como este todavía nos da una manera valida para un par de números y un vector de dos dimensiones pero la asociación es totalmente distinta a lo que se obtiene utilizando una base más estandar de “i” y “j”. Cada vez que describimos vectores numéricamente, depende de una elección implícita de los vectores base que estamos usando.

Entonces cada vez que escalamos dos vectores, como lo explicamos acá, se llama una combinación lineal de dos vectores.

Ahora bien, si dejas que los dos escalares se extiendan libremente y consideras todos los vectores posibles que puedes conseguir, hay dos cosas que pueden pasar. Para la mayoría de los pares de vectores, serás capaz de llegar a todos los puntos posibles en el plano. Cada vector bidimensional está a tu alcance.

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Sin embargo, en el desafortunado caso en el que tus dos vectores originales se alinien, la punta del vector resultante es limitada a la única línea que pasa a través del origen.

Aunque, en realidad, técnicamente, también hay una tercer posibilidad, ambos vectores podrían ser cero, en cuyo caso estarías atrapado en el origen.

Otro concepto que debes conocer es el siguiente: el conjunto de todos los vectores posibles que se puedan alcanzar con una combinación lineal de un par dado de vectores se llama espacio generado o span de esos dos vectores.

Así que revisando lo explicado hasta ahora, la extensión de la mayoría de los pares de vectores 2D son todos vectores del espacio 2d, pero cuando se alinean, su espacio generado es la de todos los vectores cuya punta se encuentra en una determinada línea.

Te acuerdas que en el anterior video te dije que álgebra lineal giraba entorno a la suma de vectores y la multiplicación escalar.

Bueno, el espacio generado o span es básicamente una forma de preguntarse cuáles son todos los vectores posibles que puedes alcanzar usando solo estas dos operaciones fundamentales, suma de vectores y multiplicación escalar.

En este punto, veamos que diferencia existe entre un vector y un punto en el plano.

Cuando tenemos una colección de vectores es común representar a cada uno con un solo punto en el espacio. El punto lo ubicamos en la punta de ese vector, donde se tiene un vector con su cola en el origen.

Por esta razón, si quieres pensar sobre cada vector posible cuya punta se encuentra en una cierta línea, solo debes pensar en la línea en sí.

En general, si estás pensando en un vector por sí solo, piense en él como una flecha. Pero si se trata de una colección de vectores, es conveniente pensar en todos ellos como puntos.

Así que, para nuestro ejemplo, el espacio generado de la mayoría de los pares de vectores termina siendo toda la hoja infinita del espacio bidimensional. Pero si se alinean, su envergadura es solo una línea.

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Ya tienes las bases para entender una combinación lineal, por lo tanto te dejo la siguiente pregunta, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones crees tú que sea cierta?

Opción 1: Podemos alcanzar cualquier vector dimensional posible alterando las opciones de los escalares. Respuesta correcta.

Opción 2: Cuando dos vectores originales se alinean, la punta del vector resultante es limitada a la única línea que pasa a través del origen. Respuesta correcta.

Opción 3: El conjunto de todos los vectores que se puedan alcanzar con una combinación lineal de un par de vectores se llama span de esos dos vectores. Respuesta correcta.

Deja en los comentarios cuál crees que sea la opción correcta. Puede ser una o más respuestas las correctas.

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