Matrices en Álgebra Lineal

Una matriz es una colección de números ordenados en filas y columnas como ésta, por ejemplo, esta matriz contiene los números 7 18 3 -6 0 y 12. Cada uno de estos valores es un elemento de la matriz. Así que nuestra matriz tiene un total de 6 elementos.

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Para que quede claro que se trata de una matriz, colocamos todos los elementos entre corchetes, y normalmente denotaríamos una matriz con una letra mayúscula, por ejemplo, A.

Nuestra matriz A tiene 2 filas y 3 columnas. En álgebra lineal las filas y las columnas son las dos dimensiones de la matriz de la matriz A. Así que decimos que sus dimensiones son 2 y 3 o mejor dicho 2 x 3. Normalmente tomaríamos nota de ello y lo pondríamos debajo de la letra A.

Las matrices pueden parecer tablas y hojas de cálculo al principio. Sin embargo, el propósito de las matrices no es simplemente almacenar valores, sino ser los protagonistas de las operaciones matemáticas.

Dos matrices se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir. Entonces el álgebra lineal es similar al álgebra en el tipo de operaciones que hay, pero difiere en cómo y cuando estas operaciones se implementan y si están permitidas. Esto lo discutiremos en este video.

Una matriz solo puede contener números, símbolos o expresiones con la idea de que los dos últimos no son nada más que una representación generalizada de números.

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Por ejemplo, la colección de los siguientes 6 símbolos, A B C D E F, muestra una matriz diferente de 2 x 3, llamada B.

Aquí hay otra matriz llamada C, está tiene 4 elementos y es una matriz 2 x 2. Sus elementos no son valores sino expresiones.

Ahora hablemos del tamaño de una matriz. Las matrices pueden ser de cualquier tamaño, en el caso general estamos hablando de una matriz m x n.

Si A es una matriz m x n, esto significa que hay m filas y n columnas.

En ocasionas nos tenemos que referir a un elemento particular de la matriz A, por lo que los elementos de la matriz se denotan con una a minúscula y dos números que indican su respectiva posición en cuanto a fila y columna.

Por ejemplo, aij es el elemento en la posición ij, donde i es la fila y j es la columna respectiva.

Por lo tanto, si queremos rellenar la matriz, empezaremos con un a11, a12, a13, hasta a1n para finalizar la primera fila.

Del mismo modo tenemos, a11, a21, a31 hasta am1, para completar la primera columna.

El último elemento de la matriz es amn, es el número total de elementos.

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Algo que tienes que tener claro es que, en la gran mayoría de los lenguajes de programación, las matrices parten desde 0 en vez desde 1. Por ejemplo, en Python, las matrices empiezan de cero. Por lo que tienes que tener en cuenta esto cuando codifiques.

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Expliquemos ahora las operaciones matemáticas que puedes realizar con las matrices.

Comencemos con la suma, esta es una operación extremadamente fácil, solo hay una condición que se debe cumplir y es que ambas matrices deben tener las mismas dimensiones.

Veamos esto en un ejemplo, tenemos dos matrices, M1 y M2.

M1 es igual a 5, 12, 6 para la primera fila y -3, 0 y 14 para la segunda fila. Por su parte, M2 es igual a 9, 8, 7 para la primera fila y 1, 3, y -5 para la última fila.

Como puedes observar ambas matrices son 2 x 3.

Si quiero sumar ambas matrices, lo único que se debe hacer es sumar las entradas correspondientes una con la otra y el resultado será una matriz 2 x 3.

Para el elemento en la posición 1 1 tenemos 5 + 9, para el elemento en la posición 1 2 tenemos 12 + 8. Continuamos de esta forma para el resto de los elementos hasta la posición 2 3 en donde tenemos 14 + -5.

Ahora lo que nos queda es hacer los cálculos sencillos y llegar a la solución.

Para la primera fila tenemos 14, 20, y 13, mientras que para la segunda fila -2, 3 y 9. Este es el resulta de la suma de las dos matrices. Así de simple.

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Ahora, como sabes, restar es muy parecido a sumar, por lo que las mismas condiciones y reglas de la suma se aplica a la resta de matrices.

Veamos estas dos matrices. Para calcular la resta de estas dos matrices, solamente tenemos que restar cada uno de estos elementos con su respectivo elemento en su posición correspondiente, igual como lo hicimos en la suma.

Nota que las dos matrices tienen las mismas dimensiones, 2 x 2, por lo que el resultado de la resta será 2 x 2.

El resultado de la resta es -2 y 8 para la primera fila y -5 y -4 para la segunda fila.

La suma y resta de matrices, no solamente aplica para números enteros, también puedes hacerlo cuando la matriz cuenta con números decimales o flotante. El procedimiento acá es exactamente igual que como hicimos la suma y resta de las anteriores matrices.

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Expliquemos ahora la transposición de las matrices.

Comencemos con los vectores. Los vectores pueden ser de filas o columnas.

Entonces decimos que x es el vector tipo columna igual a 1, 2, 3.

Hay una operación matemática especial en donde podemos convertir un vector de tipo columna en un vector tipo fila. A esto se le conoce como transposición.

Podemos transponer el vector x y convertirlo en una fila. En donde 1, 2, y 3 se encuentra uno al lado del otro.

Denotamos esta operación con la letra T.

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Veamos otro ejemplo, tenemos el vector fila 3, 2, 1. Si lo transponemos ahora tenemos un vector columna, 3, 2, y 1.

Esta es una operación sencilla, por ejemplo, se transportamos dos veces la matriz x, obtenemos la matriz x original.

Pero existen algunas consideraciones que debemos tomar en cuanta cuando realizamos estas operaciones.

La primera es que cuando transponemos un vector no estamos perdiendo ninguna información. Los valores no cambian o se transforman, solo su posición lo hace.

Segundo, transponer dos veces el mismo vector, obtenemos el vector original.

Tercero, nuestro vector inicial tiene longitud de 3 x 1 al transponerlo tiene una longitud de 1 x 3.

Esta última consideración da un vistazo a cómo funciona la transposición de matrices. Convierte todas sus filas en columnas y viceversa. En términos de dimensiones al transponer una matriz m x n, se convierte en una matriz n x m.

Veamos ahora un ejemplo con una matriz. A es igual a 5, 12 y 6 para la primera fila y -3, 0 y 14 para la última fila, esta es una matriz 3 x 2.

Si transponemos esta matriz obtenemos una matriz 2 x 3. Y sus valores ahora serán 5 y -3 para la primera fila, 12 y 0 para la segunda fila y 6 y 14 para la última fila.

Podemos observar que la primera columna de la matriz original ahora se convirtió en la primera fila de la matriz traspuesta. La segunda columna de la matriz original ahora es la segunda fila de la matriz traspuesta. Y la tercera columna de la matriz original ahora es la tercera fila de la matriz traspuesta.

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De esta forma es como se ejecuta la traspuesta de una matriz.

Veamos ahora la multiplicación de vectores.

En un anterior video te explique como multiplicar un escalar con un vector, ahora veamos otra forma de multiplicar vectores y posteriormente la multiplicación de matrices.

Para aclarar, hay dos tipos de multiplicaciones que podemos conseguir. Una se llama multiplicación o producto punto y la otra se llama producto cruz. De esta última no vamos a hablar acá.

En este curso nos enfocaremos solamente en el producto punto.

El producto punto también es conocido como el producto interno. La notación acá cambia, en vez de ser una x debemos colocar es un punto.

La multiplicación funciona de esta forma, cada dos elementos correspondientes los multiplicamos y luego se suma cada elemento. El resultado será un escalar.

Veámoslo con el ejemplo, 2 veces 1 más 8 veces -7 más menos 4 veces 3. El resultado es -66.

Como puedes observar multiplicamos dos vectores y obtuvimos un escalar, por esta razón en ocasiones se le conoce como el producto escalar.

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Ten en cuenta que el producto punto no es más que la suma de los productos de los elementos correspondientes.

Apliquemos este mismo método, pero ahora utilizando matrices.

Como en otros casos, solo podemos multiplicar una matriz de m x n por una matriz n x k. Básicamente, la segunda dimensión de la primera matriz tiene que coincidir con la primera dimensión de la segunda matriz.

Entonces podemos multiplicar matrices 2 x 3 por una matriz 3 x 1. O matrices 3 x 2 y 3 x 3, y así sucesivamente, hasta matrices 3 x k. Lo importante es que esos 3 siempre coincidan.

Sabiendo esto, veamos ahora la dimensión del producto final. Si multiplicamos una matriz m x n por n x k el resultado será una matriz m x k.

Por ejemplo, si una matriz es 2 x 3 y la multiplicamos por una matriz 3 x 5 el resultado será una matriz 2 x 5.

Ahora veamos como multiplicamos estas matrices utilizando el producto punto.

La primera matriz es 2 x 3 mientras que la segunda matriz es 3 x 2.

Lo primero que debemos revisar es la compatibilidad para saber si es posible multiplicar ambas matrices, entonces la segunda dimensión de la primera matriz es 3 mientras que la primera dimensión de la segunda matriz es 3, por lo que estos valores coinciden por lo que con estas matrices podemos realizar el producto punto.

Sabiendo esto ya podemos deducir que el resultado será una nueva matriz de 2 x 2.

Ahora si hagamos la multiplicación, pero antes debes recordar dos cosas importantes.

Primero, las matrices no son más que una colección de vectores.

Segundo, el producto punto no es más que la multiplicación de un vector fila por un vector columna.

Como aplicamos esto a nuestros datos, bueno la primera matriz esta formada por tres vectores filas, el primero es 5, 12 y 6 mientras que el otro vector es -3, 0 y 14.

Por su parte la segunda matriz esta formada por 2 vectores columnas, 2, 8 y 3 el primer vector y -1, 0 y 0 el segundo vector.

Para obtener el producto punto de las dos matrices solamente tenemos que obtener el producto punto de cada uno de los vectores.

Desarrollemos la primera operación, hallemos el producto punto de 5, 12 y 6 y 2, 8 y 3. Esta operación sería 5 veces 6 más 12 veces 8 más 6 veces 3. El resultado de esta operación es 124. Este será el primer número que colocamos en nuestra nueva matriz.

Ahora hallemos el producto punto de 5, 12 y 6 con el segundo vector de la segunda matriz, -1, 0 y 0. La operación sería 5 veces -1 más 12 veces 0 más 6 veces 0. El resultado será -5. Este es el segundo elemento de nuestra matriz resultado.

Ahora hacemos el mismo procedimiento con el segundo vector de la primera.

Primero lo multiplicamos que el primer vector de la segunda matriz, como ya lo explicamos anteriormente y el resultado es 36, este es el primer resultado de la segunda fila de la matriz resultado.

Ahora hacemos el mismo procedimiento con los dos últimos vectores. Acá tenemos como resultado, después de la multiplicación y suma de los valores, de 3.

Ya tenemos nuestra matriz resultado.

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Tienes que tener cuidado en donde colocas los elementos de cada una de las operaciones, observa que los vectores fila de la primera matriz determinan la fila de la matriz de salida.

Ya tienes las bases para manejar matrices, por lo tanto te dejo la siguiente pregunta, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones crees tú que sea cierta?

Opción 1: Es posible sumar una matriz de 2×3 y un vector. Respuesta incorrecta. No es posible sumar una matriz y un vector porque tienen dimensiones distintas.

Opción 2: Al multiplicar una matriz de 4×5 por otra de 5×5 el resultado es una matriz de 5×4. Respuesta incorrecta. La matriz resultante será 5×5.

Opción 3: Si transportamos dos veces la matriz A, obtenemos la matriz A original. Respuesta correcta.

Deja en los comentarios cuál crees que sea la opción correcta. Puede ser una o más respuestas las correctas.

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