Transformación Lineal en Álgebra Lineal

En estea entrada explicaremos la transformación lineal y su relación con las matrices. Acá nos centraremos en cómo estas transformación se ven en casos de dos dimensiones y en cómo se relacionan con la idea de la multiplicación matriz-vectorial.

Por lo tanto, empecemos analizando este término de transformación lineal.

Transformación es esencialmente una función, la cual recibe entradas y genera una salida para cada una. Específicamente en el contexto del álgebra lineal, podemos pensar que en las transformaciones entra algún vector y genera otro vector.

Pero, ¿por qué se usa la palabra transformación en lugar de función, si significan lo mismo?

Es para sugerir una cierta forma de visualizar esta relación entrada-salida. Una gran manera de entender las funciones de los vectores, es usar el movimiento.

Si una transformación toma algún vector de entrada y genera un vector de salida, entonces nos imaginamos que el vector de entrada se mueve hacia el vector de salida.

Entonces para entender la transformación como un todo, podríamos imaginarnos viendo todos los vectores de entrada posibles, moviendose hacia su correspondiente vector de salida.

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Si pensamos en todos los posibles vectores de una sola vez puede parecer muy complicado, por lo tanto, como se explico en el anterior video, podemos sustituir la flecha por el punto.

Ahora si pensamos en una transformación de todos los vectores de entrada posibles a algún vector de salida, observamos cada punto del espacio moviéndose hacia otro punto.

Aunque las transformaciones arbitrarias pueden parecer bastante complicadas, pero afortunadamente, álgebra lineal se limita a un tipo especial de transformación. Una que es más fácil de entender, que es la transformación lineal.

Una transformación es lineal si tiene dos propiedades. Todas las líneas deben permanecer como líneas sin curvarse, y el origen debe permanecer fijo.

Por ejemplo esto no sería una transformación lineal, ya que las líneas se vuelven curvas. Y esta de aquí, aunque mantiene la línea recta, el origen se ha movido.

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En general, se debe tener claro que las transformaciones lineales mantiene la cuadrícula paralelas y espaciadas uniformemente.

Algunas transformaciones lineales son fáciles de visualizar, como rotaciones sobre el origen, otras son un poco más difíciles de describir con palabras.

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Entonces, ¿cómo podríamos describir estas transformaciones numéricamente?, es decír ¿qué fórmula le das a la computadora para que con las coordenadas de un vector te genere las coordenadas del nuevo vector?

Resulta que solo necesitas registrar donde están los dos vectores bases “i” y “j”, y todo lo demás vendra de ahí.

Por ejemplo, considera el vector “v” con coordenadas 4, -2. Lo que significa que es igual a cuatro veces “i”, más negativo dos vez “j”.

Si jugamos a la transformación y seguimos a donde van estos tres vectores, la propiedad de que las líneas de la cuadrícula permancen paralelas y tiene una consecuencia muy importante.

El lugar en donde “v”  aterriza, será cuatro veces el vector donde aterrizó “i”, más negativo dos veces el vector donde aterrizo “j”. En otras palabras, comenzó como una cierta combinación lineal de “i” y “j” y termina como la misma combinación lineal de donde aterrizaron esos dos vectores.

Esto significa que puedes deducir a donde debe ir P basándonse solo en adonde “i” y “j” han aterrizado.

Si colocamos la cuadricula del plano original, podemos deducir que que “i” aterrizo en las coordenadas 1, -1. Mientras que “j” aterrizo en las coordenadas 1,1.

Esto significa que el vector representado por 4 “i” más -2 vez “j”, termina 4 multiplicado por el vector 1, -1, más negativo 2 por el vector 1,1.

Sumando todo esto se puede deducir que el nuevo vector debe aterrizar en 2,-6.

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Pero expliquemos algo que nos sale de todo este análisis. En esta explicación te estoy mostrando la transformación completa, podrías haber visto en la gráfica las coordenadas del vector v, pero lo bueno de esto es que nos da una técnica para deducir dónde aterrizan los vectores.

Por lo tanto, siempre y cuando tengamos un registro en donde “i” y “j” han aterrizado, luego de una transformación, podemos determinar el vector resultado sin necesidad de observar la transformación en sí misma.

Esto lo que quiere decir que una transformación lineal bidimensional se describe completamente con solo cuatro números. Las dos coordenadas en donde “i” aterrizo y las dos coordenadas en donde “j” aterrizo.

Es común empaquetar estas coordenadas en una cuadrícula de números de dos por dos llamada matriz de 2×2, donde se pueden interpretar las columnas como los dos vectores, “i” y “j”.

Ahora, si te digo que “i” aterrizo en 1, -1 y “j” aterrizo en 1, 1, podemos sustituir estos valores en la fórmula, por lo que si te doy cualquier vector puedes calcular donde aterriza ese vector usando esta fórmula.

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Esto se corresponde con la idea de añadir las versiones a escala de nuestros nuevos vectores base.

Veamos esto es un caso muy general, en donde la matriz tiene los valores a, b, c, d. Recuerda, esta matriz es solo una forma de presentar la información necesaria para describir una transformación lineal. En donde la primera columna, a, c representa el vector base “i” y la segunda columna, b, d, son las coordenadas en donde aterrizo el vector base “j”.

Cuando aplicamos esta transformación a algún vector x, y, obtenemos x veces, a,c y y veces b,d. Poniendo todo esto junto obtenemos un vector: ax +by, cx + dy.

Esto lo pudiesemos haber deducido desde el principio pero con toda esta explicación de manera gráfico creo que ha sido mejor para que se entendiera mejor estos conceptos.

Veamos un nuevo ejemplo.

Si rotamos todo el espacio 90 grados en sentido contrario a las agujas del reloj. Ahora “i” aterriza en las coordenadas (0,1) y “j” aterriza en (-1,0). Así que la matriz con la que terminamos tiene columnas (0, 1) (-1, 0).

Si queremos determinar que le sucede a cualquier vector después de una rotación de 90 grados. Podrías multiplicar sus coordenadas por esta matriz.

En resumen, las transformaciones lineales son una forma de moverse de manera que las líneas de la cuadrícula permanezcan paralelas y espaciadas uniformemente, y que el origen permanezca fijo.

Estas transformaciones pueden ser descritas usando solo un puñado de números, las coordenadas en donde aterrizan cada vector base.

Las matrices nos dan un lenguaje para describir estas transformaciones donde las columnas representan esas coordenadas y la multiplicación vectorial de la matriz es solo una forma de calcular lo que esa transformación hace a un vector dado.

Lo importante acá es que veas que una matriz que se puede interpretar como una cierta transformación del espacio, entendiendo esto podrás comprender álgebra lineal profundamente.

Ya tienes las bases para transformaciones lineales, por lo tanto te dejo la siguiente pregunta, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones crees tú que sea cierta?

Opción 1: El vector base i será la primera fila correspondiente a la matriz 2×2. Respuesta incorrecta. El vector base i será la primera columna de la matriz 2×2.

Opción 2: Al realizar una transformación lineal, todas las líneas deben permanecer como líneas sin curvarse, y el origen debe permanecer fijo. Respuesta correcta.

Opción 3: Si tenemos un registro en donde “i” y “j” han aterrizado, podemos determinar el vector resultado. Respuesta correcta.

Deja en los comentarios cuál crees que sea la opción correcta. Puede ser una o más respuestas las correctas.

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