Vectores en Álgebra Lineal

La raíz fundamental de todo es el vector, por esta razón es importarte asegurarnos que todos estamos en la misma página de lo que es exactamente un vector.

Hay tres ideas distintas a lo que es un vector, esta la perspectiva desde la física, la perspectiva de las ciencias de la computación y la perspectiva del matemático.

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La perspectiva de la física es que los vectores son flechas que apuntan al espacio. Lo que define a un vector dado, es su longitud y la dirección en la que apunta. Pero mientras esos dos hechos sean los mismos, puedes moverlo todo y sigue siendo el mismo vector.

Los vectores pueden vivir en el mismo plano, o en planos bidimensionales, y están los vectores que se encuentran en el espacio que sería en donde nosotros nos encontramos, serían los vectores tridimensionales.

Desde la perspectiva de la informática los vectores son las listas ordenadas de números. Por ejemplo, digamos que estas haciendo algunos análisis sobre precios de la vivienda, y las únicas características que te importan son los metros cuadrados y el precio. Puedes modelar cada casa con un par de números, la primera indica la cantidad de metros cuadrados y la segunda el precio. Fíjate, el orden acá importa.

Para este caso estarías utilizando vectores bidimensionales. En este contexto, los vectores son más o menos una lista, y lo que lo hace bidimensional es el hecho de que la longitud de esa lista es de dos.

Ahora bien, desde la perspectiva lo de matemático, se busca generalizar ambos puntos de vista, básicamente diciendo que un vector puede ser cualquier cosa donde hay una noción sensata de sumar dos vectores, y multiplicando un vector por un número, operaciones que hablaremos más adelante en este curso.

Los detalles de esta explicación son un pocos abstractas, pero lo importante acá es que insinúa el hecho de que las ideas de suma y multiplicación de vectores por números, jugará un papel importante en el álgebra lineal.

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Pero antes de hablar de esas operaciones, vamos a concentrarnos en la idea de cada vez que hablemos de un vector deberás pensar en una flecha, y específicamente, piensa en usa flecha dentro de un sistema de coordenadas, X y Y, y el origen de ese vector se encuentra en el punto 0, 0 de ese sistema de coordenadas.

Esto es un poco diferente desde la perspectiva de la física, en donde los vectores pueden ubicarse libremente en cualquier lugar del espacio.

En el álgebra lineal, casi siempre el vector se encuentre ubicado en el origen.

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Una vez que entiendes el concepto de las flechas en el espacio, ha llegado el momento de traducir los vectores desde el punto de vista de la lista de números, que vendría siendo las coordenadas del vector.

Estoy segura que estas familiarizado con este sistema de coordenadas, pero vale la pena explicarlo un poco porque precisamente esta es la parte importante del álgebra lineal.

Para esta explicación nos vamos a centrar en dos dimensiones. Entonces tienes una línea horizontal llamada el eje “X” y una línea vertical llamada el eje “Y”. El lugar en donde se cruzan se llama el origen, este sería el centro del espacio y la raíz de todos los vectores.

Seguidamente elegimos una longitud arbitraria, se hacen marcas en cada eje para representar esta distancia.

Cuando hablamos de la idea del espacio 2D como un todo, solamente debes extender cada una de las marcas para crear una cuadrícula, pero para ver de manera más fácil las explicaciones nos va a estorbar por esa razón no se hace.

Las coordenadas de un vector son un par de números que básicamente dan las indicaciones de cómo llegar desde la cola de ese vector ubicado en el origen del plano hasta su punta.

El primer número te dice qué tan lejos debes caminar a lo largo del eje X. Si el número es positivo indica que el movimiento se debe hacer hacia la derecha, mientras que si el número es negativo te deberás mover hacia la izquierda.

El segundo número te dice qué tan lejos debes caminar paralelamente al eje y. Si el número es positivo debe ser un movimiento ascendente, mientras si el número es negativo deberás moverte descendentemente.

Para distinguir los vectores de los puntos, la convención es escribir el par de números de manera vertical y encerrados con corchetes.

Cada par de números te da un solo vector, y cada vector está asociado a un solo par de números.

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¿Qué pasa si se tiene 3 dimensiones?

En estos casos se agrega un nuevo eje llamado “Z”, que es perpendicular a los ejes “X” y “Y”. Cada vector deberá tener asociado tres números. El primero indica qué tan lejos se debe mover a lo largo del eje “X”, el segundo número te dice hasta donde moverte paralelamente al eje “Y”, y el tercero te dice hasta dónde moverte paralelamente en este nuevo eje “Z”.

Cada trío de números te da un vector único en el espacio. Y cada vector en el espacio te da exactamente un tiple de números.

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Hablemos ahora sobre la suma de vectores y a la multiplicación con números, después de todo, cada tema en el álgebra lineal se va a centrar alrededor de estas dos operaciones.

Digamos que tenemos dos vectores, uno apuntando hacia arriba y un poco a la derecha y otro vector apuntando hacia abajo y hacia la derecha, como se muestra en la imagen.

Para sumar estos dos vectores, tienes que mover el segundo vector para que la cola quede en la punta del primer vector. Ahora si dibujas un nuevo vector desde la cola del primer vector hasta la punta del segunda, entonces ese nuevo vector es la suma de ambos vectores.

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Por cierto, esta definición de adición es más o menos el único momento en álgebra lineal en donde permitimos que los vectores se alejen del origen.

Pero, ¿por qué se hace esto?

La suma representa un paso con cierta distancia y dirección en el espacio. Si das un paso sobre el primer vector y luego das un paso en la dirección y distancia del segundo vector, el efecto general es exactamente igual si se mueve a lo largo de la suma de esos dos vectores.

Recuerdas cuando aprendiste a sumar cuando eras pequeño, si querías sumar 2 + 4, dabas primero 2 pasos a la derecha y luego 4 pasos a la derecha, el resultado de eso era la suma de ambos números 6.

Veamos cómo se ve la suma de vectores numéricamente. El primer vector aquí tiene coordenadas 2, 3. Y el segundo tiene coordenadas 3, -2.

Cuando se toma la suma vectorial usando este método de punta a cola, puedes pensar en un camino de cuatro pasos desde el origen hasta la punta del segundo vector.

Veamos esto, caminas 2 a la derecha, luego 3 hacia arriba y 3 hacía la derecha y 2 hacia abajo.

Si reorganizamos estos pasos para que primero haga todo el movimiento hacia la derecha y luego hace todo el movimiento vertical. Por lo que el primer movimiento sería 2 + 3 a la derecha y luego mueve 3 – 2 hacia arriba.

De esta forma el nuevo vector tiene las coordenadas 2 + 3 y 3 – 2.

En general, la suma de vectores se trata en emparejar sus elementos y sumar cada uno de ellos.

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La otra operación vectorial fundamental es la multiplicación de vectores por un número o escalar.

Esto se puede observar mejor se vemos primero algunos ejemplos. Si tomamos el número dos y lo multiplicamos por un vector determinado, significa que estiras ese vector para que sea dos veces más largo que su valor inicial.

Si multiplicas ese vector por un tercio, significa que lo reduces y que es un tercio de la longitud original.

Ahora si lo multiplicas por un número negativo como 1.8, entonces el vector original primera se voltea y luego se estira por ese factor de 1.8.

Este proceso de alargar, reducir e inclusive invertir la dirección de un vector se llama escalamiento. Por su parte, el número con el que lo multiplicas por un número como 2, o un tercio, o el negativo de 1.8 se le llama escalar.

De hecho, a través de álgebra lineal, una de las principales cosas que hacen los números es escalar vectores. Por lo tanto, es común usar la palabra escalar de manera intercambiable con la palabra número.

Numéricamente, alargar un vector por un factor, por ejemplo, dos, corresponde a multiplicar cada uno de sus componentes por ese factor, dos.

Entonces para efectos de multiplicar un escalar o número por un vector, significa en multiplicar cada uno de esos componentes por ese escalar.

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A medida que avancemos en el curso, te darás cuenta que álgebra lineal gira alrededor de estas dos operaciones fundamentales, suma de vectores y multiplicación escalar, por lo tanto, son conocimientos muy importantes para tener claro.

Ya tienes las bases para los vectores, por lo tanto te dejo la siguiente pregunta, ¿Cuáles de las siguientes afirmaciones crees tú que sea cierta?

Opción 1: El origen de un vector se encuentra en el punto 0,0.

Respuesta correcta.

Opción 2: Para escribir las coordenadas de un vector solamente deben escribir los números encerrados entre paréntesis.

Respuesta incorrecta. Las coordenadas de los vectores deben estar encerradas en corchetes y no en paréntesis.

Opción 3: Cada vector en el espacio te da exactamente un tiple de números.

Respuesta correcta.

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